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一、证明题

1． 在[0，1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得

从

而时，

有

及

有

恒成立. 所以对于任

意

取

当n>N时，对任意的

由柯两准则知，级数而正项级数优级数

在[0，1]上一致收敛. 若

发散，

这与

存在优级数. 特别取，有

不存在

发散.

所以级数为优级数矛盾，因此级数

2． 设函数f (x ) 在点x=0的某邻域内有定义

，

【答案】

由于

存在且

则有

存在. 证明

：绝对收

敛

从而

故

绝对收敛.

因为

义有

(否则

3． 设f (x ) 在

(1) (2) 设(3) 若条件改为

【答案】(1)

由界. 根据单调有界定理

(2) 设因此

绝对收敛，所以又f (x ) 在点x=0连续，所以f (0) =0, 由导数定

当

绝对收敛时，

只能有

的敛散性相同，矛盾) .

上连续，满足则有

则

知，

数列为收敛数列.

上连续，对

两边取极限，得

时

所以由

可推出

|知，

数列

有

为递减数列.

由

设

证明：

为收敛数列；

由于f

在

(3) 此时(1) ，(2) 的结论仍成立.

因为当

二、解答题

4． 求极限

其中 f (x ) 在[0, 1]上连续，f (0) =0, f (0) =1. 【答案】作变

换

所

以

故

5． 计算下列向量场A 的散度和旋度：

则变

为

【答案】

(2) 同样可证

6． 设

证明

在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.

恒为零. 若y 为有理数，则函数仅有有限个异于0的值，

因此

其中为圆锥曲面

被平面z=0，z=2所截部分的

【答案】因为在正方形的任何部分内，函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数，

则数

所以累次积分存在且

同理，累次积分 7． 计算外侧。

【答案】由高斯公式，然后再由球坐标变换得

8． 试问k 为何值时，下列函数列

一致收敛：

【答案】⑴由

设则

又故时取得上的最大值，从而