2018年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所803概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
的方法知结论成立.
2． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
时都为0, 等式得证.
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函
数
可
得
证明:当
时，随机变量
按分布收敛于标准正态
3． 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
4． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
故
于是
在
时,
这说明作为0的无偏估计，在
比样本均值有效.
为样本，
分别为,
分别是
的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，时，
样本中程
5． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
6． 证明:若
由此写出
与
则当
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
由此可得到的UMVUE ,
，因而
t
时有