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一、选择题

1． 若

则

A.m+n

B.-（m+n） C.n-m D.m-n

【答案】C

都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

2． 设

则由基A.

是3维向量空间

到基

的一组基,

的过渡矩阵为（ ）.

B.

C.

D. 【答案】A

3． 设次型.

A.

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数

B. C. D. 【答案】D

不等于0

为非正实数

不等于

则

【解析】方法1用排除法令这时方法2

所以当方法3设

对应的矩阵为A ，则

即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.

则

时，f 为正定二次型.

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

，

即

时，二次型可化为

所以f 为正定的.

4． 设A 、B 为满足

时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.

则当

的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设

并记A 各列依次为

由于不妨

设由于性相关. 又由方法2:设考虑到

可推得AB 的第一列知

，

从而线

由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于

即

所以有

所以有

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

阶方阵，且秩

秩

有无穷多解 必有惟一解

必有非零解

秩A , 则线性方程组（ ）.

二、分析计算题

6． 已知二次型

（1）写出f 的矩阵A ;

（2）求出A 的特征值及对应的特征向量. 【答案】 （1）二次型的矩阵为

（2）可计算得所以

其中当零常数.

当非零常数.

时，得特征向量

属于4的全部特征向量为

其中

为P 中任意

当

时，得特征向量为P 中任意非零常数.

A 属于-1的全部特征向量为

其中

为P 中任意非

时，得特征向量

A 属于1

的全部特征向量为