2017年上海师范大学数理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是总体
的简单随机样本，
记
（I ）证明T
是（II ）当【答案】（I ）
的无偏估计量； 时，求DT 。
故T
是
的无偏估计量。（II
）当
2． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
则的后验分布为
，其中已知，
为其样本，取
的先验分布为倒伽
时，
即
值已知）的共轭先验分布.
3． 设为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
相互独立, 且服从大数定律.
试证明:当n 充分大
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
4． 设时,
【答案】因为
这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】
因为为独立同分布的随机变量序列,
所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
5． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
的概率分别
是证明
：
[2]仿题[1]有
6． 设总体
【答案】由于总体均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差. 7 设分别自总体．
试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.
【答案】由已知条件有
且
独立. 于是
故
这证明了又
是的无偏估计.
从而
因而当
时，V ar （Z ）达到最小，此时
这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是
的线性无偏估计类
中方差最小的.
的样
该无偏估计为
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
中抽取容量为，的两独立样本其样本方差分别为
都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）