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一、证明题

1． 设

是总体

的简单随机样本，

记

（I ）证明T

是（II ）当【答案】（I ）

的无偏估计量； 时，求DT 。

故T

是

的无偏估计量。（II

）当

2． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明：

【答案】

3． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:

【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为

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时，

所以

4． 设总体μ，则

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE. 【答案】大家知道：

分别是

的无偏估计，设

是0的任一无偏估计，

为样本，证明，

分别为

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明这就证明了

由此可得到的UMVUE.

因而

5． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

所以

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6． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

7． 设总体为韦布尔分布

其密度函数为

现从中得到样本

证明

仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.

为

因而最小次序统计量这说明.

8． [1]设间为

[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：

表

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的

括号里的事件等价于

因而得

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【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数

的分布函数为

是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区

，因

而

分位数

可得