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一、证明题

1． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由（1）, （3）式可得

即有

, 结论得证.

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

2． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

即X 与Y 不相关.

3． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为

【答案】

设事件设

则显然有

则由全概率公式得

把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故

弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

在

当

再令

上一致收

时,

有

,

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

必存在某个i , 使得由（2）式知,

个

下用归纳法证明.

为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，

记

有

类似有

所以代入（1）式得

由归纳法知结论成立.

4． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有

（1）（2）（3）且从（1）在

则

所以

（2）

（3）

5． 设

证明:

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

所以

【答案】因为

，

【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）

6． 设由可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

明：样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为

即

将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有

证明完成.

7． 设随机变量量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

所以

而

正是

的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱

, 则由X 的特征函数

..

展开为级数形式, 可得

可

得

, 证明:当

时, 随机变量

按分布收敛于标准正态变

收敛的方法知结论成立.

8． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

证明:

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式