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一、证明题

1． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

‘所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有

结论得证.

2． 设P （A ）>0，试证：

【答案】因为

所以

3． 任意两事件之并

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

4． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与-X 有相同的特征函数,

从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为

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其中常数而当时, 有

, 令

时,

有

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

先证充分性. 若是实的偶函数, 则又因

所以得, 即

关于原点是对称的.

再证必要性, 若

, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,

由于-X 的特征函数为所以故是实的偶函数.

5． （1）设和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果, 有

6． 设总体

【答案】由于总体均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

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的分

时, 样本极差的分布函数.

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为,

于是与

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

7． 设总体二阶矩存在,

是样本, 证明

则

与的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

由

因而

所以

8． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明：Y 服从参数为

9． 证明:容量为2的样本

【答案】

10．若

为从分布族

为充分统计量.

【答案】样本X 的联合密度函数为

中抽取的简单样本,

试证

的泊松分布. 的方差为

由于,

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