2017年上海师范大学数理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
2． 设时,
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
试证明:当n 充分大
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】因为为独立同分布的随机变量序列, 所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
3． 设连续随机变量
独立同分布, 试证:
【答案】设诸而事件
的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.
从而该事件的概率为
若记诸
的分布函数为
则上式积分可化为
4． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
是充分统计量. 1与
,
）,
是一一对应的,
）就可算得（
, 反之, 给出）
,
,
也可构造出（
, ）
）是充分统计量.
5． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明：Y 服从参数为
的泊松分布.
6． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.
【答案】设总体玛分布
，其密度函数为
，其中已知，为其样本，取的先验分布为倒伽
则的后验分布为
即
值已知）的共轭先验分布.
7． 设是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
8． 设
服从多项分布
, 由因子分解定理,
其概率函数为：
其中即
其中
，i=l, ……k ,
.
记
并把这一分布记作
. 证明：的后验
为参数，
若
的先验分布为Dirichlet 分布，是
的充分统计量•
分布为Dirichlet 分布
【答案】因为的后验概率函数为