2018年北华大学数学与统计学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下面的方程在点, （0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y）并将f （x , y ）在点（0, 0）展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.
【答案】令
则F （x , y , z ）在点（0, 0, 0）的邻域内连续,
在点（0, 0, 0）的邻域内连续, 且由隐函数求导法则易知
所以
于是
2． 设
且
【答案】
由
又由有
由开覆盖定理, 存在注意到对于每一个则对任意的
为[0, 1]上的连续函数列, 故存在
的开区间族
使得
为单调递增数列, 现令存在
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,
, 于是由隐函数存在定理, 方程F （x , y , z ） =0
在点（0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y ）, 满足f （0, 0） =0.
为上的连续函数列, 满足
证明
在
上一致收敛. 知, 对任意
的
对任意的
存
在
有
有
由此得到满足上述要求的覆盖
从而
3．
证明:若
【答案】
存在,
则
二、解答题
4
．
用抛物线法近似计算
【答案】当n=2时,
当n=4时,
当n=6时
,
5． 设f （x ）是周期为
【答案】设
由条件知由费耶定理，知,
，利用极限的性质，得一致收敛于f （x ）所以，
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（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.
的连续函数，且其傅里叶级数处处收敛，
求证这个傅里叶级数处处收敛到f （x ）.
故 6． 计算
【答案】由分部积分公式有
收敛于f （x ）.
.
于是有
而
故
7．
求出下列极限, 并指出哪些是无穷小数列:
（1
） （
2） （3） （4） （5） （6） （7）
可得到以下结果:
中取中取中取中取
得得得得
【答案】根据数列极限（1）在（2）在（3）在（4）在
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