2018年北华大学数学与统计学院902数学综合[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且
, 有
*
证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将
在X 处作泰勒展开
将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得
当
时, 有
由三阶导数的连续性, 有
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 证明:
【答案】方法一用积分中值定理. 因为
而
所以
方法二用分部积分法. 因为
而
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,
所以
故
3． 设
在[0, 1]上连续, 求证:
【答案】分两种情况讨论.
（1）如果f （X ）在[0, 1]上不变号, 则
即要证的不等式成立.
如果f （x ）在[0, 1]上变号, 则存在又因为f （x ）在[0, 1]上连续, 存在
, 使得
使得
f
故有
即要证的不等式成立.
（用微积分基本定理）
二、解答题
4． 设
【答案】由
是定义在是定义在
上的连续的偶函数, 则上的连续的偶函数知.
从而
从而令
有
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所以原命题成立.
5． 已知函数f 和g 的图像, 试作下列函数的图像;
（1）【答案】
（1）中,
取二者较高者. （2）中,
取二者较低者. 如图1和图2所示.
将
与
作在同一坐标系
, 将
与
作在同一坐标系
图1
图 2
6． 设
【答案】令
即
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, 求f （x ）.
. 则