2017年大连海洋大学环境科学与工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库
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2017年大连海洋大学环境科学与工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库（一） ... 2 2017年大连海洋大学环境科学与工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库（二） . 12 2017年大连海洋大学环境科学与工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库（三） . 21 2017年大连海洋大学环境科学与工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库（四） . 28 2017年大连海洋大学环境科学与工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库（五） . 39
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下，
而犯第二类错误的概率为
这是因为在成立下.
.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即
，或
，查表得：
由此给出
因而凡
最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率
（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当
时.
，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
即
才可实现，这一结论在一般场
注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小.
合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
2． 设从均值为方差为的总体中，分别抽取容量为的两独立样本，分别是
这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.
【答案】由于
是容量分别为
都是的无偏估计，并确定常
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了又由a+b=l知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&的样本的合样本（样本量为
是线性无偏估计类
中方差最小的.
, ）的均值
3． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则
【答案】二项分布因为而
4． 设
的特征函数为, 所以当
时,
则
正是泊松分布的特征函数, 故得证.
是来自泊松分布
的一个样本.
在显著性水平为时给出其拒绝域；
（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题
的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；
（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1）泊松分布
的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设
其中
（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题
成立，
则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设所以此检验的拒绝域应有如下形式
其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定
或
由于原假设成立下
则由
可得
不是一件易事.
（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为
其中m 为如下整数
考察
的单调性，为此求其导数
所以势函数
大.
（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时
对给定的显著性水平有
即拒绝域W 中的临界
值
即当n=10时，若
则应拒绝原假设
证明:
5． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令
（1）
（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
故
若令泊松分布
的
分位数为这里
的寻求还
所以在给定理时，该检验的拒绝域为
是的严格増函数. 由此可知，
在原假设
上
在处达到最
的渐近分布
譬如
，，n=10
和时，
有