2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学(理)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
得
故
知
故
【答案】
由题意知
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
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的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
故
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
3．
已知，求
【答案】
令
则且有
1
所以
4．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
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（Ⅱ）当a=0时
，此时A 有二重特征值1，仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
二、计算题
5． 已知线性变换
求从变量
【答案】
记系数矩阵.
因性变换的矩阵形式为
又
，
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，
于是从变量
到变量
的线
于是即
6． 用矩阵记号表示二次型：
（1
）（2
）（3
）
【答案】（1）
（2）
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