2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学(理)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
2．
设当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3． 设n 维列向
量
【答案】
记
为任意常数.
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
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从而组的基础解系为数.
有无穷多解
. 易知特解为
从而②的通解
，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
4． 设
（1
）计算行列式∣A ∣
；
（2）当实数a 为何值时，线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，则有及得
此时，原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
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