2018年河南师范大学计算机与信息工程学院602数学(理)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数
.
2．
设二次型
（1
）证明二次型f 对应的矩阵为（
2）若
【答案】（
1）由题意知，
记
正交且均为单位向量
，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/对应的矩阵为
（2）证明：设则
而矩阵A 的秩
故f
在正交变换下的标准形为
3．
设
B
是
（I ）证明（II ）证明（III ）若【答案】⑴
，
由于
所以为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
其中E 是n 阶单位矩阵.
的特征向量； 的特征向量；
也是矩阵的一个特征值；
矩阵
逆
且A 可对角化，求行列式
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（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
4． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
二、计算题
5．
设
【
，（k 为正整数），证明E-A 可逆，
并且其逆矩阵
答
案
是它的三个解向量，
且】
则知E-A 可逆，
且其逆矩阵
6． 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,
已知
由
求该方程组的通解.
【答案】记该非齐次方程组为AX=B，对应齐次方程为AX=0.