2018年河南师范大学数学与信息科学学院802线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故 2．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
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于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化
.
（
Ⅲ）
当
时，
此时
A
有二重
特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量
，故此时
A 不可对角化
.
3
． 已知
且
.
求
又又
知
即
4． 已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形
，并写出所用正交变换；
（Ⅱ）若A+kE:五正定，
求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0, 即值，
由
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
得
故
知
故
【答案】由题意知
可知-1是A 的特征值，
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征向量.
因为不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
二、计算题
5． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】
方法一、由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，
且
，从而AB 是正交阵.
6． 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：
于是AB 可逆，且有
（1
）
（2
）
【答案】（1
）对作初等行变换，求它的行阶梯形：