2018年河北省培养单位遗传与发育生物学研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
所有非零解
_
t 为任
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2
． 设三阶方阵A 、
B
满足式
的值
.
其中
E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】由矩阵知则
. 可
逆. 又故即
所以即而
故 3． 设
当a , b 为何值时
，存在矩阵C
使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若
C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B可变形为
即得到线性方程组
若要使C
存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中为任意常数.
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4． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
二、计算题
5． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】
由特征值性质得A 的特征值时
，
是B 的特征值.
分别取
知A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3
阶方阵，
故
6． 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样？
【答案】由矩阵秩的性质，
有
7． 设矩阵A 可逆，
证明其伴随阵
【答案】
因
另一方面，
因
也可逆，且知
可逆，
且