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一、计算题

1． 把一颗骰子独立地掷n 次, 求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

, 故先求

. 由于

且因为和

均为仅取0, 1值的随机变量, 所以

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的, 因为在掷n 次骰子中, 1点出现次数多必使6点出现次数少.

2． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，定

而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.

【答案】令

，其中

即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ）

因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为

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6点出现的次数

（第i 次投掷

时, 不可能既出现1点、同时又出现6点）, 因此当i=j时, 有

而当

时, 由于

与相互独立, 所以

3． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为

表

1

表

2

已知P （XY=0）=1, 试求

的分布列.

表

3

【答案】记（X , Y ）的联合分布列及各自的边际分布为

由题设条件P （XY=0）=1, 知

表

4

所以得代入上表得

此时从下表可得

即（X , Y ）的联合分布列为

由此又得, 进而确表

5

所以的分布列为

表

6

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4． 设随机变量相互独立、同服从N （0, 1）, 则

相互独立的充要条件为其协方差为0, 即E （UV ）=0, 实际上

其中诸如今已知

与均为实数.

的充要条件为

【答案】由于正态随机变量的线性组合仍为正态变量, 而两个正态变量相互独立的充要条件是

这表明:U 与V 相互独立的充要条件是

5． 如果X 的密度函数为

试求

【答案】因为密度函数P （x ）的图形如图

.

图

因此所求概率为

6． 根据调查, 某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位:千元）:

试画出茎叶图.

【答案】取整数部分为茎, 小数部分为叶, 这组数据的茎叶图如下:

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