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一、证明题

1． 设

是来自

的样本,

为其次序统计量, 令

证明【答案】令作变换

其中

函数为

该联合密度函数为可分离变量, 因

而

2 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，V ar （Z ）达到最小，此时

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相互独立.

则

的联合密度函数为

其雅可比行列式绝对值为, 联合密度

相互独立,

且

中抽取容量为，的两独立样本其样本方差分别为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

该无偏估计为

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类

3． 设是来自均匀分布数为

其中

（2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

中方差最小的.

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

的样

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布；

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

4． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

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5． 设

证明:

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

证明：

【答案】

7． 总体

（1）证明

6． 若事件A 与B 互不相容，且

所以

【答案】因为

其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；

为取自该总体的样本，为样本均值.

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

则

从而

于是，

这说明

是参数的无偏估计. 进一步，

这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为

因而θ的最大似然估计为

下求

的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为

故

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显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围