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一、计算题

1． 设

相互独立，且

试求

中

（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）

（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=:

2． 某种圆盘的直径在区间（a , b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.

【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为

，所以平均面积为

3． 一个房间中有n 双不同型号的鞋子, 今从中任取

（1）没有2只能配成对（设为事件A ）; （2）恰有2只能配成对（设为亊件B ）; （3）恰有

只配成对（为事件C ）.

只, 则基本事件总数为

双

双, 再从每双中取一只即可,

只都不能配成对, 则可先从n 双鞋中取出种不同取法, 即

【答案】从n 双不同型号的鞋子中取（1）若使取出的共有

只

求下列事件的概率:

.

，

（2）若使取出的只恰有两只能配成一对, 则可先从n 双鞋中取出一双, 然后从剩下的鞋中各取一只, 即

（3）若使取出的

4． 设

只都能配成对, 则可从n 双鞋取k 双, 即

的一个样本，寻求与的无偏估计.

可分别用来估计与，但它们都不是无偏估计，

是来自均匀分布

与

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量

与

的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明:把

与

与

不是与的无偏估计，但做恰当修正后，可获得与的无偏估计.

或

再使用加减消去法，即可得与的无偏估计分别为

5． 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下:

表

试在显著性水平

下检验这批数据是否服从泊松分布.

两式相加与相减可得

【答案】仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为:

未知参数采用最大似然估计得:

将代入可以估计出诸于是可计算出检验核计量

表

，如下表:

若取由于

，查表知，故拒绝域为.

故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为这批数据服从

泊松分布. 此处检验的p 值为

6． 计算机在进行加法运算时对每个加数取整数（取最为接近于它的整数）. 设所有的取整误差是相互独立的，且它们都服从

上的均匀分布.

且

（1）若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率； （2）最多几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于【答案】

记（1）由

为第

i

个加数的取整误差，

则

得所求概率为

（2）由题意可列出概率不等式

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可改写为

查表得

由此得

这表明:至多443个数相加，才能使它们的误差总和的绝对值小于10的概

率不小于

7． 设某一设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为

【答案】

记

为第i 个元件的工作时间，

则

的指

数分布，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，试求设备正常工作时间T 的概率分布.

独立同分布，其共同的密度

函数和分布函数分别为