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一、计算题

1． 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果为n 次测量结果的算术平均值，为保证有少需要测量多少次？

【答案】因为

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

或

由此查表得

从中解得

取

即可以

的把握使平均值与实际值a

的差异小于

2． 设X 与Y 相互独立，分别服从参数为和

【答案】因为

所以

这说明:

服从二项分布

其中

3． 试证:

故

的充要条件为:

时，有

则

有

于是对任意的

当

时，

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服从正态分布

记问至

的把握使平均值与实际值a 的差异小于, 所以根据题意可列如下不等式

的泊松分布，试求

所以

【答案】先证充分性，令

是x 的严格单调增函数，因而对任意的

充分性得证.

先证必要性，对任意的故存在充分大的N , 使得当

令时，有

因为于是有

由的任意性知，当

时，有

结论得证.

4． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.

【答案】设事件为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记有

，且

所以由全概率公式得

得递推公式

将

代入上式可得

由此得

5． 设二维离散随机变量（X ，Y ）的可能取值为

且取这些值的概率依次为

【答案】由题设条件知，（X ，Y ）的联合分布列为

表

1

试求X 与Y 各自的边际分布列.

. 则

在上面表格中按行相加，得X 的边际分布列；按列相加，得Y 的边际分布列:

表

2

表3

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6． 设有k 台仪器，已知用第台仪器测量时，测定值总体的标准差为些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到应取何值，方能使

【答案】若要使

设伩器都没有系统误差. 问

成为的无偏估计，且方差达到最小？

的无偏估计，即

则必须有

此时，

因此，问题转化为在令

的条件下，求

由

得到

从①中可以得到

代入②中，解出

从而

7．

某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，

测得样本标准差为批导线的标准差显著地偏大？

【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为

，查表知，拒绝域为若取

由所给条件可得出检验统计量为

因此拒绝

在显著性水平

下认为这批导线的标准差显著地偏大.

8． 写出下列随机试验的样本空间:

（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；

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用这

的极小值.

今在一批导线中随机抽取样品9

下能否认为这

，设总体为正态分布，问在显著性水平

，