2018年西安理工大学理学院602数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:f 在D 上连续, 但不一致连续.
【答案】显然, f 在D 上是连续的, 仅证f 在D 上不一致连续.
取当
无论及
时,
从而f （x , y ）在D 上不一致连续.
2． 证明:若级数
【答案】假设若
发散.
发散，收敛. 因
.
使得, 则F （x ）在
. 上
也发散
则
也发散.
收敛，这与题设
. 发散矛盾，所以
取得多么小,
当
取到某个, n 时,
总能使
故级数
3． 设f =f. 证明:对任意正整数n , 存在（x ）在[0, 1]上续, f （0）（1）
【答案】若n=1, 则取连续. 由
f （0）=f（1）知
若若
, 则取不全为0, 则必有两点即可. 若n>1, 令
中任一点即可;
, 使得
由根的存在定理,
, 使得, 即.
4． 己知为发散的正项级数，S n 为其部分和，用柯西收敛原理证明发散.
【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数m>n>N，使得
可以先取n=N+l, 注意到
递增，所以此时有
因为则
所以原命题成立.
递增且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m ，使得
二、解答题
5． 确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）设
则
, 收敛半径R=﹣l. 当x=1时级数
发散, x=-l
时级数
也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）.
设
, 则
故
（2）设
当
则
时, 原级数可化为级数
故收敛半径
其中
又
发散, 故原级数的收敛域为
故
（3）设
原级数可化为
因级数
的收敛域为（﹣1, 1）, 所以
原级数的收敛域为（0, 2）, 所以
（4）设
则
故1, 1].
设
时级数收敛,
又
时由莱布尼茨判别法可知级数收敛, 故原级数收敛域为[﹣
故
又
所以
从而
6． （1）设
（a0且
）, 求
;
（2）设f （x ）是三次多项式, 且有
求
.