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一、计算题

1． 设随机变量X 的分布函数为

试求

2． 设

试求1-X 的分布.

【答案】这里X 是连续随机变量，所求概率分别为

【答案】X 的密度函数为

因为

在（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为

：

所以Y=1-X的密度函数为

这表明：当

时，1-X 与X 同分布.

且有

3． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求条件密度函数【答案】因为当

时,

所以当

时,

这是均匀分布

其中

可见, 这里的条件分布实质上是一族均匀分布.

4． 请叙述下列事件的对立事件：

（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B=“射击三次，皆命中目标”； （3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品 【答案】（1）

“掷两枚硬币，至少有一反面

（2）（3）

“射击三次，至少有一次不命中目标 “加工四个零件，全为不合格品

的分布列.

的可能取值也为0或

5． 设随机变量X , Y 独立同分布, 在以下情况下求随机变量

（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布• （2）X 服从几何分布, 即

【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1, 所以1, 因此

（2）因为X 服从几何分布, 所以由此得

6． 设

是来自

的样本, 经计算

用

, 试求

【答案】因为

量的分布函数, 注意到t 分布是对称的, 故

（x ）表示服从t （15）的随机变

利用统计软件可计算上式, 譬如, 使用MA TLAB 软件在命令行输入0.8427, 直接输入

布在x 处的分布函数. 于是有

7． 设

试求【答案】先求

是独立同分布的随机变量, 其共同的密度函数为

的密度函数、数学期望和方差.

的分布函数. 当0

所以当0

则给出

则给出0.6854. 这里的就表示自由度为k 的t 分

这是贝塔分布由此得

8． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:

求

和

的联合分布列.

的联合分布列共有如下4种情况:

所以

的联合分布列为

表

【答案】

二、证明题

9． 对于组合数

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为

（3）因为

证明：

【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.