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一、计算题

1． （1）叙述极限

【答案】（1）设任给（2）设对任何取则

, 对任给的

并且存在实数

在

总存在得

故

不存在.

的柯西准则

不存在的充要条件, 并应用它证明上有定义, 极限使得对任何

上有定义, 极限

使得

'-fi

不存在的充要条件是:

不存在.

存在的充要条件是:

（2）根据柯西准则叙述

在

2． 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数:

（1）只在（2）只在（3）只在【答案】 （1）（2）（3）（4）

3． 计算下列三重积分:

（1）（2）（3）

, 其中

, 其中

, 其中

及

; （

）所围区域;

和三点不连续的函数 和二点连续的函数；

上间断的函数；

（4）只在x=0右连续, 而在其他点都不连续的函数.

, z=0和x=h所围区域.

【答案】（1）因为关于平面x=0对称, 被积函数关于z 为奇函数, 所以

（2）作变换于是

I

（3）作变换区域变为:

, 即, 从而

4． 求下列曲线的弧长:

（1）（2）（3

）（4

）（

5）（6

）【答案】 （1）

（2）曲线的参数方程为

, 于是弧长

（3）

（4）

;

, 则

,

, 则区域变为:

,

, 且

如图所示. （5）

（6）

图

二、证明题

5． 试用一致连续的定义证明:若f , g

都在区间I 上一致连续,

则f+g也在

I 上一致连续.

【答案】因为f , g

在区间I

上一致连续, 所以对任给的使得当当有

故f+g在

I 上一致连续

. 6． 设

为递减正项数列. 证明:级数

与

与

同时收敛, 同时发散.

和

. 有

由此知, 若又因为

收敛, 则

有上界, 从而

, 有上界, 即

有上界, 因此

收敛.

时, 有时, 有

. 取

；

, 则当

时,

, 存在

,

【答案】设正项级数的部分和分别是.