2017年首都经济贸易大学统计学院914概率论考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明公式
其中
【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出_
而对
k=0.
对
其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,
也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.
2． 设总体X 的分布函数为经验分布函数为试证
【答案】设
是取自总体分布函数为
的样本, 则经验分布函数为
若令于是
又
可写为
, 故有
3． 设
为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
这就证
则是独立同分布的随机变量, 且
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
相互独立, 且服从大数定律.
存在，试证明：
（1）（2）
由此可得马尔可夫条件
4． 设X 为非负连续随机变量，若
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
5． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
6． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
的特征函数, 由唯一性定理知
, 且X
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
时, 有
分布函数, 即
（2）. 相互独立, 由（1）
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由
的相互独立性可导致
与（2）可知
7． 记
证明
【答案】
由
得
8． 设P （A ）>0，试证：
【答案】因为
所以
二、计算题
9． 已知（X , Y ）的联合分布列如下:
试求: