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一、证明题

1． 设

【答案】因为对于这样的当

故 2． 应用

(1) (2)

【答案】(1) 证法一：由于

所以

另外

所以

证法二：

(2) 由

在任何

上

一致收敛，所以

另外

所以

3． 设

证明：

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，证明

时

，

证明：

所以对任给的

存在

使得当因此

在任何

上

一致收敛，

【答案】由.

4． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

【答案】(1

)

足拉格朗日中值定理的条件，故至少存在一

点

于

是

(2)

值定理的条件，

于是存在

5． (1) 叙述极限证明

不存在.

【答案】(1)

设

(2)

设

在总存

在

则

6． 证明：若S 为封闭曲面，为任何固定方向，则

【答案】设n 和的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得

在

上有定义，

极限上有定义，极

阳

使

得

，

令

使得

则

由

知

代入得.

因为

使

得

所以

因

而

在上满而故

在

又因

故

上满足拉格朗日中

故

的柯西准则；(2) 根据柯西准则叙述不存在的充要条件，并应用它

存在实数' 对任

何

得

不存在.

其中n 为曲面S 的外法线方向。

存在的充要条件是：任给

不存在的充要条件是

：

取

对任给

的

使得对任何

并且故

和

则

由的方向固定，

原式=

都是常数，故

由高斯公式得

二、解答题

7． 设

：

【答案】

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其中为可微函数，求

)

8． 若

【答案】由

计算

知

9． 计算重积分

其中D 是以

为顶点，面积为A 的三角形.

【答案】可以利用重心公式直接求得结论，本题采用具有一般性的方法进行求解. 三角形为凸集，它的点总可表示为

作变换：

所以

10．设有力

向

试求单位质量

M ，沿椭

圆

移动一周(从z 轴正向看去为逆时针方向时) ，力F 所作的

功.

【答案】此即为求曲线积分

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