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一、证明题

1． 按

(1

) (2

) (3

)

【答案】(1)

对任意

由

则当

时.

(2) 因为

所以

对任意

由

得

取

则当故

(3) 当n 为偶数时，

当n 为奇数时，

对任意

2． 求证:

(1)

若(2)

若

则则

，所以对任给定

存在m ，当

时，便有

于是，对

取

则当

时，

故

时，

故

定义证明：

【答案】(1) 因为有

注意到，当取定时，这样，当

时，有

从而(2) 因为

对

3． 设

应用第(1) 小题结论，

即得为(a ，b ) 内的有界函数. 证明

：

【答案】因为对任意

在(a , b ) 内有界，则存在M>0，使得. 利用拉格朗日中值定理，得

其中介于

和

之间，显然有

于是有

由此可知且仅当

4． 设

在(a , b ) 内一致连续当且仅当

结论得证.

在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明：

其中

是

沿L 外法线方向n 的方向导数.

所以

因为

在D 上具有连续偏导数，由格林公式得

故

便是一个有限数，再取

使得当时，有

在(a ，b )

内一致连续当且仅当

其中

在(a , b ) 内一致连续，在(a ，b ) 内一致连续当

【答案】因为

5． 设在

上可积. 证明：

对右边第一个积分作代换

于是

(1)

若(2)

若

为奇函数，则为偶函数，则

满足下列条件之一，则

故

故

是无穷大数列：

2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：

1)(1) 因为【答案】时，

于是

由此得，当n>N时，所以

也是无穷大数列.

，设r 是一个满足不等式

于是，当n>N时，

因为r>l, 所以

2)(1)

是无穷大数列. 因此，

是无穷大数列，

即

是无穷大数列.

的实数，由数列极限的保号性知，存

(2) 因为

，

由

知

是无穷大数列，

所以对于

存在正整数N ，使得当n>N

则得

(1) 若为奇函数，则(2) 若为偶函数，则【答案】因为

6． 1) 证明：若数列

在正整数N ，使得当n>N时，

根据上题(1) 的结论有