2017年信阳师范学院数学与信息科学学院601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为递减正项数列，证明：级数
的部分和为
与
同时收敛或同时发散. 的部分和为
因为
故若又有
故若同.
2． 设
收敛，则
也收敛；若
发散，则
也发散. 由上可知两级数的敛散性相
收敛，则
也收敛；若
发散，则
也发散.
为递减的正项数列，
【答案】设级数故
级数
证明:【答案】记
为的代数余子式
于是
因
对一切的
3． 设
是凸域，
都成立. 所以
且满足
证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：
根据条件
故有
上式消去并令这表明矩阵
4． (1) 问
【答案】(1)
因为
从而
即
是以1为周期的周期函数，其图像如图所示
.
图
(2) 不一定. 例如，函動
就不是周期函数. 即得
是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的. 是否是周期函数？并画出它的图形(其中
所以
：表示的整数部分) ；
按
的定义，
即得
是半正定的.
为任一向量，当t 充分小时，点，
(2) 两个周期函数之和是否一定是周期函数？
二、解答题
5． 求密度为的均匀球面
【答案】因
则
对于z 轴的转动惯量
6． 计算曲线积分
其中L 是曲线
从z 轴的正向往负向看去L 的方向是顺时针方向. 【答案】方法一(用参数方程求解) 令故
方法二：(用斯托克斯公式求解) 设S 为平面x-y+z=2上以L 为边界的有限部分，其法向量与z 轴正向的夹角为钝角. 则
由斯托克斯公式可得
其中
7． 设
(1) 试求以(2) 计算【答案】(1) 因所以
所以
其中
为自变量的反函数组；
为S 在xy 平面的投影域，即
记
则
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