2017年延边大学理学院数学基础复试之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题
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2017年延边大学理学院数学基础复试之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题（一） . .... 2 2017年延边大学理学院数学基础复试之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题（二） . .... 7 2017年延边大学理学院数学基础复试之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题（三） . .. 13
一、计算题
1． 设随机变量X 服从伽玛分布Ga （2，0.5），
试求
【答案】伽玛分布
的密度函数为
由于
因此所求概率为
2． 设
【答案】因为
求
的分布. 的可能取值区间为
所以当
0时，Y 的密度函数为
对上式两边关于y 求导，得
即
这是伽玛分布
而当y>0时，Y 的分布函数为
3． 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.
【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有6! 种不同结果，即先从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，
这总共有
种可能接法，由此得所求概率为
4． 设总体X 服从N （0, 1）,
从此总体获得一组样本观测值
（1）计算x=0.15（即（2）计算
【答案】（1）可知,
（2
）
5． 一商店经销某种商品, 每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间（10, 20）上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量, 则可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每周的平均利润.
【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润, 由题设知
由题设条件知（X , Y ）的联合概率密度为
于是
6． 某地电视台想了解某电视栏目（如:每晚九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况, 于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查.
（1）该项研宄的总体是什么？ （2）该项研宄的样本是什么？
【答案】（1）该项研宄的总体是该地区全体电视观众； （2）该项研宄的样本是该地区被电话访查的电视观众. 7． 设
是来自正态分布族
处）的
所以
,
在
在x=0.15的分布函数值.
x=0.15处的分布函数
值
其中
的一个二维样本, 寻求（【答案】
）的充分统计量.
由因子分解定理知,
为充分统计量.
8． 某地区漏缴税款的比率X 服从参数a=2，b=9的贝塔分布，试求此比率小于10%的概率及平均漏缴税款的比率.
【答案】贝塔分布Be （2，9）的密度函数为
因为
所以
因此
二、证明题
9． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
时, 记Y=X, 试证
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性, 设
, 由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布, 其密度函数为
若
与
相互独立, 则
常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
, 但是X 与Y 不独立；
与同分布.
相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:
【答案】（1）因为