2017年云南师范大学概率论与数理统计(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 将3个球随机地放入4个杯子中去，试求杯子中球的最大个数X 的概率分布.
【答案】X 的可能取值为1，2, 3, 因为3个球随机地放入4个杯子中，共有
种可能情况，
这是分母，若记事件A 为“X=l”，B 为“X=2”，C 为：“X=3”，可知A ，B ，C 互不相容，且其并为必然事件事件A 发生只能是：第1个球随机放入4个杯子中的任一个、第2个球随机放入余下的3个杯子中的任一个、第3个球随机放入余下的2个杯子中的任一个，这共有情况，所以
事件C 发生只有4种可能情况：3个球全部放在第一，或第二，或第三，或第四个杯子中，所以
又因为P （A ）+P（B ）+P（C ）=1，所以得
将以上结果列表为
表
2． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.
【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）
3． 设
为取自泊松分布
的随机样本.
的水平
的检验.
的图像.
种可能
（1）试给出单边假设检验问题（2）求此检验的势函数【答案】（1）选式
为
在A=0.05，0.2，0.3，…，0.9时的值，并画出
为检验统计量，其值愈大愈倾向于拒绝注意到
在
当
c=5
时时
，
所以，该检验问题的拒绝域形
，从而第一类错误概率
为
当
c=6
时
，
因此，该检验问题的拒绝域为
（2）势函数的计算公式为：
则
时的势计算如下表：
表
势函数图如图:
图
4． 设
记
为
独立同分布，的取值有四种可能，其概率分别为
中出现各种可能结果的次数，
使
为θ的无偏估计；
所以
从而有
若使T 为θ的无偏估计，即要求
解之得
即（2）
（1）确定【答案】（1）由于
（2）将V ar （T ）与θ的无偏估计方差的C-R 下界比较.
是θ的无偏估计.
对数似然函数为（略去与θ无关的项）
于是
注意到观测量
是随机变量，且
故
从而费希尔信息量为
所以0的无偏估计方差的C-R 下界为由于
于是
的方差为
即T 的方差没有达到θ的无偏估计方差的C-R 下界.
5． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
（1）求（2）求（3）求【答案】（1）
的非零区域与
的交集为图（a ）阴影部分, 所以
（2）
的非零区域与
的交集为图（b ）阴影部分, 所以
又因为的非零区域与
的交集为图（c ）阴影部分, 所以
（3）
的非零区域与
的交集为图（d ）阴影部分, 所以
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