2017年云南师范大学概率论与数理统计(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 为了检验X 射线的杀菌作用，用200kV 的X 射线照射杀菌，每次照射6min ，照射次数为x ，照射后所剩细菌数为y ，下表是一组试验结果.
表
1
从表中数据可见：y 是随着x 的増加开始迅速下降，以后逐渐减缓，最后下降很慢. 据此可认为y 关于x 的曲线回归形式可能有如下形式
（1）
（2）（3）
【答案】
我们以
和剩余标准差s ，并作出比较.
则回归方程
从而
于是就得到了lny 关于x 的线性回归方程程为
拟合值与残差平方如下表计算：
表2
所以y 关于x 的曲线回归方
化为
为例给出计算过程.
令
试给出具体的回归方程，并求其对应的决定系数
由数据可算得（参见下表）
决定系数剩余标准差
对其他两个回归方程，可做类似的计算，两个回归方程分别为
三个方程的决定系数及剩余标准差分别为
表
3
可以看出，三个回归方程的决定系数都比较大，其中尤其以第一个方程为最好.
2． 设总体密度函数为数的分布.
【答案】总体分布函数为
故样本中位数
的精确分布密度函数为
是来自该总体的样本, 试求样本中位
这个精确密度函数是26次多项式, 使用是不方便的, 譬如以求的, 可就是不方便, 寻求近似计算就十分必要.
下面来寻求故在n=9时
的渐近分布, 由于总体中位数是的渐近分布为
利用此渐近分布容易算出概率
3． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：
（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.
（2）因
为
而当
时，有P （AB ）达到最小值0.4.
所以有
所以当P （AB ）=P（A ）
且
用上述密度函数是可
4． 口袋中有n-1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球. 问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？
【答案】记事件
为“第k 次摸到黑球”，因为计算
较难，故先计算
由于口袋
中只有一个白球，而摸到球后换入的都是黑球，所以如果第k 次摸到白球变，故
5． 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在（0.4, 0.6）间的概率至少为0.9. 如何才能更精确地计算这个次数？是多少？
【答案】
均匀硬币正面朝上的概率
, 据题意
选取次数n 应满足
此式等价于
, 利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界
则前面k-1次一定
不能摸到白球，即前面k-1次都摸到黑球，而换入的仍为黑球，即每次摸球时黑球数和白球数不
设为n 次抛硬币中正面朝上的次数,
则有
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