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一、证明题

1． 设随机变量

相互独立, 且

试证:

【答案】而事件

从而该事件的概率为

2． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

的联合密度为

又由泊松分布的可加性知

,

理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

3． 若

【答案】由

试证：

得

所以得

即

所以

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即

由此得

即

4． 设

则

为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.

的方差一致有界, 即存在常数c 使得

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

5． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

6． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

7． 试证：对任意的常数

【答案】

于所以由此得

8． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明

：

【答案】

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有

由

二、计算题

9． 在总体N （7.6, 4）中抽取容量为n 的样本, 如果要求样本均值落在（5.6, 9.6）内的概率不小于0.95, 则n 至少为多少？

【答案】样本均值

从而按题意可建立如下不等式

即

即

样本量n 至少为4.

10．某组装产品内有部分噪音很大的次品，很伤脑筋，产生次品的原因似乎是由于这种组装品的某个部位的间隙过大引起的，为检验这个认识是否正确，特从正品A 和次品八2中各抽出8个，对其间隙进行了测量，测量数据如下（单位：μm ）

表

1

在正态分布假设下请对

中的间隙的均值间是否存在显著差异进行检验（取

）.

【答案】这是单因子（间隙）二水平等重复试验，其均值比较可用两种方法进行检验. 方法一，方差分析法，具体操作如下. （1）计算各个和：（2）计算各个平方和：

（3）列出方差分析表：

表

2

所以

查表,

函

故

或

,

（4）判断：若给定显著性水平于

方法二，双样本t 检验.

可查得拒绝域为由

故因子A 显著，即正品与次品的该部位的平均间隙有显著差异.

在正态总体方差相等的条件下两均值的比较还可用双样本的t 检验. 检验统计量为

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