2018年西北师范大学计算机科学与工程学院602高等数学(计算机类)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、填空题
1．
. 则x=_____.
【答案】
【解析】若x=b, 行列式第1，2行成比列，故D=0; 若; x=c，行列式第2, 3行成比列，故D=0; 若x=d, 行列式第3, 4行成比例，故D=0.又
故x=-（b+c+d）. 因原方程是四次方程，故只可能有四个实根，即b , c , d , -（b+c+d）.
2．
已知方程组
【答案】-1
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换，有
若
．
则
设
均
故方程组无解. 为
3
维
列
向
量
，
记
矩
阵
那
无解，则
_____.
3么
如果
_____ 【答案】2
【解析】矩阵B 可写成两个矩阵的乘积形式，即
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故
4． 设
【答案】
1 【解析】
知
则=_____. 又
均不是零向量，
故
得
二、计算题
5． 试用施密特法把下列向量组正交化：
（1）
（2）
【答案】⑴
（2）
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6． 设
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对
f 的矩阵
A 进行讨论
A 正定由 7． 已知
且由
合起来，当
时，A 正定，从而f 正定.
是矩阵的一个特征向量
（1）求参数a
，b 及特征向量P
所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义. 设P 所对应的特征值是
A , 则由题设，
即
于是，得到以
为未知数的线性方程组
：
（2）A
不能
相似
于对角阵. 理由是：当
故
是A 的三重特征值. 但
没有3个线性无关的解. 于是，矩阵
A 对应于特征值阵相似于对角阵的充要条件知，A 不能相似于一个对角阵.
8． 验证：
（1）2阶矩阵的全体；
（2）主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体（3）2阶对称矩阵的全体个基.
【答案】（1）显然对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算8条规律，由定义，
时
. 容易求得矩阵A 的特征多项式从而
故齐次方程
没有3个线性无关的特征向量. 由方
；
对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一
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