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一、选择题

1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

2． 设行列式

则线性方程组（ ）•

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D

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【解析】由题设知所以

4． 设则当（ ）时，此时二次型为正定二

次型.

A. 为任意实数 B. 不等于0 C. 为非正实数 D. 不等于-1

【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当时，f 为正定二次型.

方法3 设

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

方法4令

所以f 为正定的. 5． 若都是4维列向量，且4阶行列式

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【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

二、分析计算题

6． 设A 为n 阶方阵，证明：

【答案】因为

所以

故

7． 设T ，S 为线性空间V 的两个线性变换且

①②

【答案】①设故有因此，反之，设故②设故从而

因此，ST=S。同理，有TS=T 反之，设TS=T，ST=S.则任取故同理，

故

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的充要条件是

证明：

则任取

但因为同理，有

则任取

故

则 即

则

任取

得

故

得

使

，有同理（S 与T 地位相当）