北京大学数学基础高等数学答案年考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
1991年
一、 考查函数定义，隐函数求导以及函数单调性
1） 证明：由x=y-εsiny 得dx/dy=1-εcosy
由0≤ε＜1及0≤cosy ≤1知dx/dy=1-εcosy>0.
因此函数x=y-εsiny 单调递增, 即对每个x, 都有唯一确定的y 与之对应.
由上可知单值函数y=f(x)存在.
2) dy/dx=1/(1-εcosy).
二、
1、查利用幂级数的系数求收敛半径和收敛区间.
解:令an=(-1)n+1/n
|an+1/an|=n/n+1
则lim|an+1/an|=1,因此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为（-1，1）.
2、考查夹逼定理, 定积分的性质
证明: 由0≤x ≤1得:0≤xn/(1+x)≤xn
由定积分性质知: 0≤∫xn/(1+x)dx≤∫xndx=1/n+1
显然lim(1/n+1)=0
由夹逼定理知lim ∫xn/(1+x)=0
1992年
1、 f(x)的值域为[1/2,1].
2、 1/3(换元令x=sint)
5、幂级数的收敛区间为（－1，1），收敛域为[-1,1]
当－１＜ｘ≤１时，和函数＝（1+x）ln(1+x)-x
当x=-1时, 和函数=1
1993年
1、当x ≠0时,f’=[2x2-(1+ x2)ln(1+ x2)]/x2(1+ x2)
当x=0时,f’=1
1994年
1、 dy/dx=-sinx*ecosx/2cos2y
2、 2(sinx-ln(1+sinx)+C
3、 ∑an 绝对收敛→lim|an|=0→liman^2/|an|=lim|an|=0→∑an^2收敛（比较审敛法的极限形式） 1995年
1、 f’=2x*e-(1+x^2)^2
f’’= e-(1+x^2)^2(2-8x2-8x4)
2、 ln2-2+∏/2(根据定积分的定义，原式=∫ln(1+x2)dx)
3、 1）定义域（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）
2）奇函数
3）单调递增区间（-∞，-√3], [√3, +∞）
单调递减区间[-√3，-1]，（-1，1），（1，√3]
极大值点x=-√3
极小值点x=√3
4）凸区间（-∞，-1），（0，1]
凹区间（-1，0]，（1，+∞）
拐点（0，0）
5）垂直渐进线x=1和x=-1