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北京大学1991年研究生入学考试试题

考试科目：计算机数学基础

招生专业：计算机软件，应用，理论

指导教师：

试 题: 考试时间：九一年二月三日上午 研究方向：

一．证明由方程y −εsin(y ) =x (0≤ε

x 2x 3

n-1xn 二．（1）设级数x −+−……+（-1）+……，试分析该级数的收敛区间。（523n

分）

（2）证明 lim ∫n →∞x =0 01+x 1 （7分）

三．当a ，b 为何值时，下列线性方程组有解？

x 1+2x 2−2x 3−x 4=a

4x 2+3x 2−x 3−4x 4=a +1

2x 1−x 3+3x 3−2x 4=b

x 1−3x 2+5x 3−x 4=b −1

四．设V 为次数不超过2的多项式所组成的线性空间，σ是V 上的线性变换， （8分）

σ(f (x )) =(x +1) f '(x ), ∀f (x ) SV

求σ分别在基1，x ，x 和基1，1+x ，1+x +x 下对应的矩阵。（10分） 五．1. 设A,B,C 为任意的命题公式。

（1）已知A ∨C ⇔B ∨C , 一定有A ⇔B 吗？为什么？

（2）已知A ∧C ⇔B ∧C , 一定有A ⇔B 吗？为什么？

（3）已知¬A ⇔¬B , 一定有A ⇔B 吗？为什么？（6分）

2．通过求主析取范式，判断下列二命题是否等值。 22

1) p →(q →r )

2)(p ∨q ) →r （4分）

六．在谓词逻辑自然推理系统F 中，构造下面推理的证明。要求写出所有谓词的含义，分别写出前提，结论和证明过程。

某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人。所以，有些成员是青年专家。（7分）

七．1）(A −C ) ∪B =A ∪B 的充要条件是什么？

2）已知U A =A ，求A 。

3）cardA=2，则A 上可以定义多少个不同的二元关系？其中有多少个不同的偏序关系？多少个不同的等价关系？

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