2018年上海财经大学统计与管理学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 有20个灯泡，设每个灯泡的寿命服从指数分布，其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡，当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的，求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】记且
为第个灯泡的寿命（单位:天），
则
由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
2． 设
记【答案】
独立同分布服从
试找出与t 分布的联系，因而定出的密度函数.
的联合密度函数为
记
取一个n 维正交矩阵A ，其第一行为元素全为
其余元素只要满足正交性即可. 令
则该变换的雅可比行列式为1，且注意到:
于是
的联合密度函数为
由此，
独立同分布于
且
令
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第二行为
则而
这就建立了与t 分布的联系，并可定出的密度函数.
3． 求以下分布的中位数:
（1）区间（a ，b ）上的均匀分布； （2）正态分布（3）对数正态分布【答案】（1
）从（2）记（3）记位数. 则由（2）知
由此得
，
由，令. 即
4． 在一个有n 个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.
【答案】记
则由此得
又因为但因为
间不独立，所以
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中解得，则
可得又记
为X 的中位数，
为Y 的中
是同分布的，但不独立. 其共同分布为
所以
为计算所以
先给出的分布列，注意到的可能取值为
且
因此
由此得
5． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布
，有两个可能取值:1.5和1.8, 且先验分布为
现检查了一页，发现有3个错别字，试求的后验分布. 【答案】
由以上结果我们可以得到的后验分布
6． 一试验用来比较4种不同药品解除外科手术后疼痛的延续时间（h ）, 结果如下表:
表
1
，因此
试在显著性水平下检验各种药品对解除疼痛的延续时间有无显著差异.
表2
【答案】将题中表略作改变以便于计算, 如下:
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