2018年上海财经大学统计与管理学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 的密度函数为，事件
出现的次数，试求
，其中，
2． 设
【答案】由条件
，若
，得
，试证:A 与B 独立.
. 再由上题即得结论.
.
，所以
’以Y 表示对X 的三次独立重复观察中
【答案】因为
3． 某厂产品的不合格品率为0.03, 现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？
【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布根据题意要求k ，使X 小于等于k 的概率至少为0.9, 即式的
k
在此p=0.03, n=100+k较大，可用二项分布的泊松近似，得式可改写为
查泊松分布表得
故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9.
4． 设总体为估计.
【答案】由题意知，观测值为正的频率
下面计算观测值为正的概率. 当总体为
其中为标准正态分布的分布函数. 利用频率替换概率的方法有这给出参数的矩估计为
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.
，也就是求满足下述不等
，于是上
现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求的
时，
譬如，若设
5． 在总体于
【答案】样本均值
则由上式知是标准正态分布的
中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值落在
从而按题意可建立如下不等式
即
所以
函
故
或
即样
本量n 至少为4.
6． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证
【答案】因为
所以A —B 与C 独立.
7． 在垫片的耐磨试验中，关于磨损率有四个样本，它们的样本方差与其自由度分别为
现要对“四个总体方差彼此相等”的假设作出判断.
【答案】由于四个样本量不全相等，其中有一个样本量小于5, 故选用修正的Bartlett 检验进行方差齐性检验. 为此先计算一些中间结果，它们是
由此算得修正的Bartlett 检验统计量
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分位数，
内的概率不小
则n 至少为多少？
与C 独立.
与样本量误差均方和
对给定的显著性水平由于
，查表得
，
，故不拒绝原假设，可认为四个总体方差彼此相等.
）:
8． 1984年一些国家每平方公里可开发水资源数据如下表所示（单位:
表
而当年中国的该项指标为【答案】原假设从而检验的p 值为
，备择假设
，请用符号检验方法检验:这22个国家每平方公里可
，作差，p 值很大，
，发现正数的个数为，
，
开发的水资源的中位数不高于中国. 求检验的p 值，并写出结论.
所以可以认为这22个国家可开发水资源的中位数不高于中国.
二、证明题
9． 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
证明完成.
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