2018年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）
各以
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
所以
故有
即X 与Z 不独立.
2． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为
的泊松分布.
3． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
存在，所以级数绝对收敛，从而有
代回原式即得证.
4． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
5． 设随机变量X 取值
【答案】
6． 设随机变量
【答案】
7． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是样本，证明则
由
由于，
因而
.
的概率分别是. 证明
:
，试证明:
与的相关系数为
所以
8． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得
. 进一步由
得
得
.
又因为
，
二、计算题
9． 设
是取自二维正态分布
的一个二维样本，记
试求统计量【答案】容易看出
的分布.
仍服从正态分布. 且
所以另外，
类似于一维正态变量场合，可证与相互独立. 且
于是根据t 变量的构造可知