2018年兰州理工大学理学院760数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:
在使
连续, 在
内可导,
,
则由罗尔中值定理得, 存在,
由于
2． 证明:
【答案】令
从而函数
则
于是当
在时,
内严格递增,
, 即
, 故f （x ）在
内严格递增.
单调,
从而原式成立.
,
【答案】构造辅助函数由于使得整理得
3． 用定义证明下列极限:
【答案】（1）不妨设
y>0., y>M时有
,
故
即（2）
.
, 由不等式.
得
第 2 页，共 34 页
,
由于,
于是取
, ,
则当
,
于是取
, 则当
有
故
.
, 且
则函数列【答案】因为
即函数列取朗日定理得
由
在
上连续, 从而一致连续, 则
, 当满足
即
时有
于是0有
,
, 即
在
上一致收敛于
, 当
n>N时,
.
, 对
, 对
的极限函数为
.
, 当
时有
. 于是当
时, 由拉格
在（a ,
b
）内闭一致收敛于函数
.
4． 证明:若函数f （x ）在（a , b ）内有连续导数
, 存在正整数
二、解答题
5． 求极限
【答案】令
（k 为自然数）.
, 由
可得原极限
.
6． 讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛, 并说明理由:
（1）（2）
.
第 3 页，共 34 页
（3）（4）
（5
）
【答案】（1）任意
设
则
所以在D 上一致收敛, 且
设
则
（2）任意
故从而（3）由
表达式可知
在D 上一致收敛, 且
当x=0
时,
则有
, 所以
当0 故显然, 对（i ）因此„（ii ）所以闭一致收敛. （5）任意给定的（1）所以 在 考虑区间 不妨设 时, （4）任意给定的X , 有 从而 则 在 设 所以 上不一致收敛. 时, 在[0, 1）上不一致收敛. 上也不一致收敛, 即不内闭一致收敛. 上一致收敛且 由（ii ）知 第 4 页，共 34 页 在上内 考虑区间[﹣1, 1]时,