2018年山西大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
于是
在
时,
这说明作为0的无偏估计，在
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为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
故
时，
样本中程比样本均值有效.
2． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得
3． 设
. 进一步由
得
得
.
又因为
，
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
从而
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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于 ，故
»
因此当在形如 4． 设分统计量.
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
是来自几何分布
其分布列为
最优.
的样本，证明
是充
【答案】由几何分布性质知，
在给定后，对任意的一个样本有
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义. 5． 证明:
【答案】不妨设
. ，则
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