2018年山西大学生物工程学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设电路由A , B , C 三个元件组成，若元件A ，B ，C 发生故障的概率分别是0.3, 0.2, 0.2, 且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率:
（1）A , B , C 三个元件串联； （2）A , B , C 三个元件并联；
（3）元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成.
【答案】设事件A , B ，C 分别表示元件A ，B ，C 发生故障.
（1）因为串联电路中任一元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为
（2）因为并联电路中所有元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为
（3）由题意知，所求概率为
2． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查，下面是其不完整的频率分布表:
表
1
（1）试将频率分布表补充完整；
（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 【答案】（1）由于频率和为1, 故空缺的频率为（2）该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为
该公司有职工
250人，故该公司上班所需时间在半小时以内的人有人.
3． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg , 标准差为1.2kg. 某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下:
设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取【答案】这是一个双侧假设检验问题，总体
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）？
，待检验的问题为
由样本数据算得，
此处值未落入拒绝域内，因此不能拒绝原假设，不能认为这一天包装机的工作不正常. 检验拒绝域为
若取
，查表知
4． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；2个黑球. 现任取一个盒子，第三个盒子装有3个白球、从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数.
（1）试求X 的概率分布列；
（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？ 【答案】（1）记为“取到第i 个盒子”，
由全概率公式得
将以上计算结果列表为
表
1
（2）
5． （格涅坚科大数定律）设
.
是随机变量序列，若记
则
服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对有
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注意到时，是增函数，故当时，
因此有
所以当再证必要性. 设当
时，有
时，有
服从大数定律，即
因为函数
由于的任意性，所以
6． 设二维随机变量（x ，y ）的联合密度函数如下，试问x 与y 是否相互独立？
（1）（2）（3）（4）（5）
【答案】（1）当x>0时，所以由（2）因为所以由
（3）当0 0 所以由 （5）当0 知X 与Y 不相互独立. 而当0 第 4 页，共 34 页 故，则任对 服从大数定律. 存在N , 得 ）是增函数及 • ' ；而当y>0时， ，知X 与Y 相互独立. ，知X 与Y 相互独立. ；而当0 ，知X 与Y 不相互独立，实际上， . . 由于P （x ，y ）的非零区域不可分离，就可看出X 与Y 不相互独立. 时 ， ；而当 0 时 ，
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