2018年山西大学生物工程学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从（一1, 2）上的均匀分布，记
试求Y 的分布列. 【答案】因为.
表
2
2． 设X , Y 相互独立, 其中X 的概率分布为
求【答案】设
故
3． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比
，这样的矩形称为黄金矩形（看
设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为， 试检验假设
【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知， 故拒绝域为经计算
，若取显著性水平，由此，检验统计量
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，所以Y 的分布列为
, 而Y 的概率密度为,
的概率密度.
的分布函数为
上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值
.
，查表知，
由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平下拒绝原假设.
4． 在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为
若已知m=2，有
是样本，试求p 的最大似然估计.
的样本中有
个为1，
【答案】当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2, 不妨设
个为2，则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
将对数似然函数关于p 求导并令其为0得到似然方程
解之得
后一个等式是由于
5． 设a>0, 有任意两数x , y , 且
，其面积为
•而事件
，所以试求
代入上式即得. 的概率.
（如图中的阴影部分）的面积为
【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，样本空间为
图
所以
.
6． 100件产品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品，从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求（X ，Y ）的联合分布列.
（1）不放回抽取；（2）有放回抽取.
j 件二等品，【答案】（1）这是一个三维超几何分布，若取出的5件中有i 件一等品、则有
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件三等品，
所以当
时，有
用表格形式表示如下:
表
1
行和就是X 的分布h （5，100，50）（超几何分布）.
列和就是Y 的分布h （5，100，30）（超几何分布）
.
（2）这是一个三项分布，若取出的5件中有i 件一等品、j 件二等品，则有5—i —j 件三等品，所以当
. 时，有
用表格形式表示如下:
表
2
行和就是X 的分布b （5, 0.5）. 列和就是Y 的分布b （5, 0.3）
.
7． 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率.
【答案】记事件为“钥匙掉在宿舍里”，为“钥匙掉在教室里”，为“钥匙掉在路上”，事件B 为“找到钥匙由全概率公式得
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，而掉在上