2017年北京市培养单位北京基因组研究所803概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设明:
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨
设
又因为
否则
令
. 因为
故有
所以由马尔可夫大数定律知
2． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.
【答案】
对任意的点
:
则有
（1）
这时存在N , 使得当n>N时, 有
对任意的当
时, 有
由（1）, （3）式可得
即有
, 结论得证.
3． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证
【答案】
为绝对收敛级数. 令证
, 并讨
论即可.
由
知
为绝对收敛级数, 可记
服从大数定律.
在
当
再令
上一致收
时,
有
,
弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:
取M 充分大,
使有当
使有
时,
有
对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分
必存在某个i , 使得由（2）式知,
4． 设二维随机变量服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为
是来自该总体的样本, 证明:
二维统计量
该二元正态分布族的充分统计量.
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处,
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知, 结论成立.
5． 设随机变量
独立同分布, 且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
, 这正是伽玛分布
, 所以由
诸
的相互独立性
得
是
特征函数为
的特征函数, 由唯一性定理知
6． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族.
【答案】取成功概率p 先验分布为则与的联合分布为
所以，
即成功概率p 的后验分布为分布族.
7． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量
【答案】记
则
所以
另一方面，
这就证明了
对一切的
存在，
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔