2017年浙江大学数学学院819数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 若级数
证明级数【答案】由
与
都收敛，且成立不等式
，也收敛. 若
可得满足不等式且
数，则必有
2． 设f 为
发散.
上的光滑函数，且
为f 的傅里叶级数
【答案】因为f 为又
故
即 3． 设
【答案】要证即只要证因
故
证明只要证即证
因此只要证
即只要证
；
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都发散，试问
又级数
收敛，
从而与
一定发散吗？ 与收敛.
若
都收敛，故正项级数
都发散
.
收敛.
如果取
收
未必发散.
如
为发散的正项级
敛，
由比较原则得正项级数
均发散，
但
为f 的导函数的
傅里叶系数，证明
上的光滑函数，所以f (x ) 在
上有连续的导函数
由
知
这表明
4． 设
在
知
，单调增加，假
如因此
矛盾.
有上界，
则必有极
限
由
单调増加、没有上界，因此
上连续可导，证明：
证毕.
【答案】方法一用积分中值定理. 因为
所以
方法二用分部积分法. 因为
而
所以
故
5． 设
【答案】由上确界定义，
对
证明：存在
使使
又由
由迫敛性得
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成立.
二、解答题
6． 确定下列初等函数的存在域：
⑴（3）【答案】（1）（2）由
（3）故为（0, 10].
7． 设
求证： (1) (2)
存在；
在(0, 0) 点不连续；
同样因f (0, y ) =0, 得
得
故
（2）
（4）
的存在域为R.
的存在域为由由
得得
故
的存在域
的存在域为
的存在域为[1，100].
y=lgx的存在域为（4）
(3) f (x , y ) 在(0, 0) 点可微. 【答案】(1) 因f (x , 0) =0，所以(2) 容易求出
令y=x,
故
在(0，0) 点不连续. 同理可知
在(0, 0) 点不连续. (3) 由于以
按微分定义，函数在(0, 0) 点可微，且df (0, 0) =(0, 0) 或是可微的充分条件，不是必要条件.
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是有界变量，当1时，x 是无穷小量，所
可见偏导数连续