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一、证明题

1． 设

【答案】设由于

2． 举例说明：若级数

此级数仍可能不收敛. 【答案】如级数

若P 为某一个固定的数，则

但级数

3． 设

【答案】方法一由于是当

时，有

即方法二设

由

可得

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为m 个正数，证明

：

则

因此

对每个固定的p 满足条件

发散.

证明：

因有极限点列必为有界点列，故存在

当

时，有

使

令

所以

4． 证明：(1) 两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；

(2) 两个偶函数之和与积都为偶函数； (3) 奇函数与偶函数之积为奇函数.

【答案】(1) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个奇函数，令

则

所以f (x ) +g(x ) 是D 上的奇函数，f (x ) g (x ) 是D 上的偶函数. (2) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个偶函数，

则

所以f (X ) +g(X ) 和f (X ) g (X ) 都为偶函数.

(3) 设f (x ) 为D 上的奇函数，g (x ) 为D 上的偶函数，

所以f (x ) g (x ) 为奇函数.

5． 证明：闭域必是闭集，举例说明反之不真.

【答案】(1) 设D 为闭域，则有开域G 使

其中为G 的边界，设.

中为G 的余集即关于

下证

若不然，则存在

中含有G 的点Q , 于是因此②真，由①知

故不是D 的聚点，这就证明了：若为D 的聚点，则. (2) 例如

因此D 为闭集.

是闭集，但不是闭域. 于是当

充分小时

由于

从而

这与以上结论矛盾.

则

且

由

知：对任意

其

的补集. 由于

从而存在

则

二、解答题

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6． 在抛物线

【答案】设

哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短?

为抛物线

上的一点，则过该点的切线斜率为：

故点M 0的法线方程为：

设法线与抛物线

的另一交点为

则由韦达定理可知，两交点的距离d 满足

令

7． 在曲面法线方程.

【答案】设所求点为要求切平面与平面

且点P 处的切平面方程为

法线方程为

8． 按柯西收敛准则叙述数列

⑴

【答案】

数列

使得

（1）取故数列（2）取

对任意的正整数N ，取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

并且

故数列（3）取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

故数列

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则

由

得

故所求点的坐标为

上求一点，使这点的切平面平行于平面

点P 处切平面法向量为

并写出这切平面方程和

平行，

故

即

从而

即

是发散的：

得P

点为

发散的充要条件，并用它证明下列数列

（3）

（2）

发散的充要条件是：

存在对任意的正整数N ，

都存在正整数

则有

并且

发散.