2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院841高等代数考研导师圈点必考题汇编
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一、计算题
1． 验证函
数
并利用此结果求幂级数
【答案】（1）因为
以上三式相加得
所以函数y （x ）满足微分方程（2）根为
对应的齐次方程因此齐次方程的通解为
设非齐次微分方程的特解为
且非齐次微分方程的通解为
由（1）知，幂级数的和函数y （x ）满足：
解得
于是由微分方程初值问题解的唯一性，可得所求幂级数的和函数为
2．
设
在
的某邻域内具有三阶连续导数,
如果
, 不妨设时
,
,
由于, 故
在
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满足微分方
程
的和函数。
的特征方程为
代入方程
得
于是
由此定出上式中的C 1与C 2,
令
,
而,
试问
是否为拐点? 为什么?
【答案】已知在3>0,
当
在
的某个邻域内连续, 因此必存内
单调增加。又己知
, 从而当
凸的, 当
时,
为曲线的拐点。
时, 即函数
, 即函数f （x ）在
在内的图形是
内的图形是凹的,
所以点
3． 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
（1）y=x，x=y，绕y 轴； （2）y=arcsinx, x=1, y=0, 绕x 轴；
22
（3）x +（y-5）=16，绕x 轴；
2
2
，y=a（1-cost ）的一拱，y=0，绕直线y=2a。 （4）摆线x=a（t-sint ）【答案】（1）（2）
（3）该立体为由曲线减去由曲线
，
，
，，
，
，
所围成图形绕x 轴旋转所得立体
（4）该立体可看作由曲线y=2a，y=0, x=0, x=2πa 所围成的图形绕y=2a旋转所得的圆柱体减，则体积为
去由摆线y=2a，x=0, x=2a所围成的立体，计摆线上的点为（x ，y ）
，再根据摆线的参数方程进
，此时y=a（1-cost ），因此有
行换元，即作换元x=a（t-sint ）
4． 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差:
【答案】（1）因为
,
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所围成图形绕x 轴旋转所得立体，因此体积为
其中介于0, x 之间, 故
误差
介于0与
之间, 即
（2）己知
介于0与
注:利用
, 可得误差
5． 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A （1，﹣2, 3），B （2, 3，﹣4），C （2，﹣3，﹣4），D （﹣2，﹣3, 1） 【答案】A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限
6． 已知
【答案】因为
于是
，计算在x=2处当△x 分别等于1, 0.1, 0.01时的△y 及dy 。
之间, 故
, 因此
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