2018年北京林业大学水土保持学院725数学(自)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 总体
（1）证明
，其中
是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
于是，
，这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了
也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
是
的相合估计.
2． 设
【答案】若
证明
:服从贝塔分布，并指出其参数.
则X 的密度函数为
由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
3． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在 4． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
时都为0, 等式得证.
【答案】由泊松分布性质知有
该条件分布与无关，因而
5． 若因为
所以有
6． 设随机向量
【答案】记标准化变量为
因为考虑到
故
所以
的协方差阵的行列式为
再由协方差阵的非负定性，可得
移项即得结论.
7． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
是充分统计量.
.
，从而得
，又
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
【答案】因为
，即得
间的相关系数分别为
.
证明: