2018年杭州师范大学理学院726数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、综合题
1． 设f 为区间, 上严格凸函数. 证明:若格凸函数知, 对任意
总有
因此, 对于任意
的
2． 判断积分
【答案】（1）当
时,
易知:当
时,
当
时,
当
时,
当
时,
所以不论（2）当由
取何值, 一定有时, 不妨设
对于无穷积分知:当
时,
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为f 的极小值点, 则x 0为在I 上惟一的极小值点.
, 不妨设
, 由f 是I 上的严
【答案】反证法. 若f 有异于x 0的另一极小值点
, 只
要充分接近0, 总
有但
是
, 这与是f 的极小值点矛盾. 故x 0是f 在I 上的惟一极小值点.
的收敛性, 其中p 和q 是参数.
发散.
收敛;
当时
,
的前提下讨论则由
时,
发散.
的收敛性
.
下面在若
若当
为正常积分
, 收敛.
知:
收敛;
当
时,
发散.
综合可知:当
或
时
发散.
和
都收敛
, 从而
收敛; 在其他情况下,
3． 求下列不定积分:
（1
）
由于
在
（2）
时,
上连续,
故其原函数必在
【答案】（
1）当
,
当
时,
连续可微. 因此
即,
因此, 所以
（
2）当当. 由于
在
时, 时,
上连续, 故其原函数必在
上连续可微. 因此,
即, 因此. 所以
4． 求下列函数所表示曲线的渐近线:
（1）（2）
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（3
）
【答案】（1）由
得
再由
得b=0.所以此曲线有水平渐近线y=0.又因为
所以此曲线有垂直渐近线x=0
（2）由
得
再由
得
得
另外, 由
. 于是, 此曲线有两条渐近线
（
3）因为
所以
再由
得
因此, 该曲线的斜渐近线方程为
又因为
所以
所以, 该曲线还有两条垂直渐近线
5． 研究函数
的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数. 【答案】当
时被积函数是连续的, 因此F （y ）为连续函数. 当y=0时有F （0） =0.设m 为
f （x ）在[0, 1]上的最小值, 则m>0.于是当y>0时,
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和