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一、证明题

1． 设

在

上连续，在

内可导，且.

证明：

【答案】将结论变形为

进而写成

由使

在式(1) 中，若

再结合式(2) , 问题就解决了. 而对

即

在

上应用拉格朗日中值定理即可知式(3) 成立.

2． 应用柯西收敛准则，证明以下数列{an}收敛：

(1) (2)

【答案】(1) 设n>m,

则有

因为

于是对任意正数则当n>m>N时

，

(2) 设n>m, 则有

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使得

可以看出，首先应对和在上应用柯西中值定理. 这样就有

(

不妨设) ，必存在N ，使当n>N时，有

收敛.

即取

由柯西收敛准则可知，数列

对任给的

枚敛.

3． 设

⑴若

在

上连续，则

⑵若

收敛，则

【答案】(1)

其中

在

与之间，在a 与b 之间，令

知

(2)

类似于(1) 的方法有

其中

在

与

之间，令

则

由

的连续性及

收敛有

则

由

的连续性及

，

证明：

取

，则对一切n>m>N，

有

由柯西收敛准则知，

数列

二、解答题

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4． 讨论广义重积分

的敛散性，其中

【答案】因为被积函数恒正，故可取趋于D. 记

作变换：

则

显然当

时，积分收敛，且积分值为

把定积分看作是对应的积分和的极限，来

【答案】（1）因

记其分割为

在取

上连续，所以为区间

在

上可积. 对

进行n 等分，得

，有

（2）同（1）

（3

）由

则

在

上连续知

，

在

上可积，

对

进行n 等分，

记其分割为

的右端点，

当积分收敛时，求积分的值.

显然当

时

，

5． 通过对积分区间作等分分割，

并取适当的点集计算下列定积分：

取为区间

的右端点，得

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