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一、解答题

1．

已知矩阵

可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由.

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B

的特征值也是

当

时，由秩

知

A 可以相似对角化.

而

有2个线性无关的解，

即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

时矩阵B 只有1个线性无

只有1个线性无关的解，即

关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.

2． 设A

为

矩阵

且有唯一解. 证明：

矩阵

的解为【答案】

由

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

得

有

有惟一解知

则方程组

. 即

即

可逆.

为A 的转置矩阵）.

易知

于是方程组

为可逆矩阵，

且方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有非零解，即存在

有非零解，这与

3．

已知

对角矩阵.

是矩阵的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q

使为

【答案】A 是实对称矩阵

，

可得a=2.

此时

是二重根，

故

于是

必有两个线性无关的特征向量，

于是

知

解（2E-A ）x=0,

得特征向量将

正交化：

解（8E-A ）x=0，

得特征向量先

再将单位化，得正交矩阵：

且有

4． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到

的基础解系为

所以矩阵

则既可由

线性表出，也可

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

其中t 为任意常数.

二、计算题

5．

设

为正定二次型，求a.

【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论

A

正定

由

且

由

合起来，

当

时，A 正定，从而f 正定.

6． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；

（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;

（2）此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;

（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0; 第3位元素2的逆序数为2; 末位元素1的逆序数